Media aritmética y geométrica

En el mundo clásico se entendían tres maneras de obtener una medida que fuera proporcional a otras dos. Por ejemplo, si tienes el ancho y largo de una sala ¿Cual sería la altura lógica?
A esto lo llamaban “simetría”, aunque actualmente la palabra ha cambiado de significado y para el original hemos creado el “neologismo” proporción.
Un artesano griego, o italiano neoplatónico, entendía tres maneras de sacar ese tercer tamaño a partir de dos dados. Hoy en día los llamamos medias y es más probable encontrar información en libros de estadística que de arte. El problema es que en estadística esas medias, esos terceros valores compatibles estéticamente con otros dos, se emplean para cosas muy distintas que las que queremos usarlas en artes plásticas y por tanto las explicaciones no se ajustan a lo que buscamos.
Vamos a ver estas tres maneras de obtener el tercer valor de entre dos dados. Aquí vamos a ver las dos primeras y dejo la tercera para otro artículo venidero.

Enga, vamos. La primera es la media artimética. Si tenemos dos líneas de longitud a y b la tercera que buscamos, por media aritmética, está a medio camino exacto de ambas. La longitud de la media dista igualmente de ambas. Es decir, si restas la línea mayor de la menor, coges la mitad de esa diferencia y se la sumas al lado menor. Más sencillo es simplemente sumar las dos lineas y sacar el punto medio.

mediaaritmetica

En la construcción, superpongo las dos líneas a y b una encima de la otra de manera que dejo un punto común ya ambas (en la ilustración en el lado izquierdo) y me deja el otro extremo de cada una de las líneas más a la derecha. Ahora dibujo una circunferencia cuyo diámetro son esos dos puntos extremos. La distancia del centro de esta circunferencia hasta el punto común de las dos líneas es la media aritmética. Para separarla voy a trazar un arco con centro en el punto común y radio desde él hasta el centro de la circunferencia. Este arco corta a la circunferencia en un punto y por tanto la media aritmética es la recta que va desde el punto común al punto de corte del arco y la circunferencia.

 

La media geométrica

El segundo modo de buscar una línea armónica con otras dos es la media geométrica. En ella la media es tantas veces mayor que el lado corto como el lado largo es tantas veces mayor que la media. Si la media aritmética era la suma de las dos longitudes dividida entre dos la media geométrica es la raiz cuadrada de la multiplicación de las dos líneas. Es decir, simplemente hemos sustituido la división por una raiz y la suma por una multiplicación.
Es decir: m/a = b/m, luego m^2 = a * b. Fijemonos bien lo que dice esa ecuación: que si formamos un cuadrado con el lado medio su superficie es la misma que la del rectángulo formado por los lados grande y chico.

Es decir:

mediageometrica2

El rectángulo tiene por lado las dos líneas que queremos promediar. El cuadrado tiene por lado la media geométrica de esas dos rectas. Las dos figuras tienen la misma superficie. Esa es la idea de la proporción geométrica.

 

¿Para qué sirve la media geométrica?
Coge las dos líneas y dibuja con ellas un rectángulo. Ahora traza la diagonal.

geometrica3

Pues bien, cualquier rectángulo que dibujes apoyados en la misma diagonal tienen la misma relación de aspecto, sus lados guardan la misma proporción. Por esto esta manera de definir una proporción (“symmetria”) era la más importante.
Es decir, todos los rectangulos ab, cd, ef son semejantes, tienen la misma relación de aspecto;

a/b = c/d = e/f

Esta idea de que la relación entre la línea media y los lados sea constante es una idea central, hasta el punto de que se llamó “la proporción” por antonomia, o proportion proportionis, es decir, “la proporción”. Cuando los autores antiguos hablan de proporción sin más o “a los que los griegos llamaban proporción”  se refiere a esta media geométrica diferenciandola de las otras dos maneras de obtener una línea media. El problema es que muchos han interpretado modernamente que esta “Proporción” es solo una de todas las posibles, la de media y extremo de Euclides, lo cual ha dado origen a un confuso y fantasioso sistema de reglas basados en una única proporción. Cuando en los autores antiguos leemos “la proporción” no se refiere a “la proporción aúrea” sino a la media geométrica.

 

Como trazarla

Vamos a ver cómo encontrarla gráficamente. Primero la respuesta, después la explicación.
Dibuja las dos líneas una encima de la otra, superponiendose, igual que hicimos para encontrar la media aritmética.  Dibuja el círculo cuyo diámetro es el trozo en que la línea más larga es mayor que la más corta. Esto es lo mismo que hicimos antes. Ahora traza la línea tangente al círculo hasta el punto más externo de las dos líneas.

mediageometrica

Ojo con las dos construcciones, que igual se parece. Vamos a ponerlas juntas:

dosmedias

Las líneas a y b están superpuestas, no una detrás de otra, sino una encima de la otra. El punto de la izquierda de las dos líneas, a y b, es el mismo.

 El círculo está centrado en el trozo que la línea larga (b) sobre sale de la línea corta (a).

Para la media aritmética dibujamos un arco desde el punto externo hasta el centro del círculo. La línea media aritmética es la que va desde el punto externo hasta el punto en que el arco corta al círculo (en realidad es desde el punto externo hasta el centro del círculo).

Para la media geométrica simplemente dibujamos la tangente a la circunferencia desde el punto externo.

Otro día hablamos de la media armónica.

POR QUÉ ESA CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIA GEOMETRICA

Para comprender por qué la tangente desde el punto externo a la circunferencia es la media geométrica tenemos que conocer una propiedad que tienen las circunferencias.
Imagina un punto fuera de la circunferencia. Traza una línea que la corte en dos puntos. Uno de ellos queda más cerca del externo que el segundo. Ahora dibuja el rectángulo cuyos lados son las líneas desde el punto externo hasta el cercano y desde el punto externo al lejano. Bien, pues sean cualesquiera que sean las líneas que hayas trazado, la superficie de los rectángulos son siempre la misma.
Mira este dibujo. Tienes un punto A fuera del círculo y he trazado unas cuantas líneas.

potencia

ABC, ADE, AFG y por último una línea que es tangente a la circunferencia AH.
Bien ,pues todos los rectángulos que puedes formar: AB-AC, AD-AE, AF-AG y el cuadrado AH, todos, tienen la misma superficie.

Esta propiedad se llama potencia de un punto a una circunferencia.

 

 

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No te fíes del histograma

¿Qué nos dice un histograma? ¿El reparto de los tonos? Esa es la leyenda. El histograma nos dice como están repartidos los valores de los pixels. Cada columna del histograma dice cuantos pixels hay con un cierto valor en la foto, pero no cuantos tonos hay en la imagen. El problema es que damos por sentado que (con ocho bits) el negro es el número 0 y el blanco es el número 255, pero la realidad es que lo que significa cada número, el tono al que corresponde cada número depende de lo que diga el perfil de color.

Mira estas dos copias de una misma foto. Los dos histogramas son exactamente iguales, los pixeles tiene la misma distribución, sin embargo los tonos no tienen nada que ver.

La foto de arriba está en el espacio del perfil EciRGB. La foto de abajo está con el perfil levantado de la cámara con que se hizo la foto. Sirva para dejar de intentar deducir los tonos de la foto a partir del histograma.

histoinutil

(Por cierto, que no debería fiarme del programa para levantar los perfiles que he usado)

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B1 en HSS

 

anaquinobolera-11

B1 en TTL, se quedó ajustado siempre al 10. La velocidad es de 1/1000 y da mejor resultado que las otras fotos realizadas a 1/2000, que era la exposición para el fondo. El HSS tarda demasiado en recargar pero rellena bien, me gusta que no canta, pero no me gusta que tarde tanto que tengo que elegir los momentos y no tirar siempre que veo algo. Está bien para posados a mi estilo, el paso central de tres.

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La perspectiva depende de donde pongas la camara no del objetivo que uses

Como funciona lo de la perspectiva, el objetivo y la distancia a la que enfocas. Tienes una figura sobre un fondo. Al cambiar la distancia cambia la perspectiva. Mucha gente cree, e incluso enseña, que el cambio de perspectiva se debe al objetivo, pero se equivocan. Vamos a verlo. En esta foto tengo una figura delante y otra figura detrás. La chica y el faro. La primera foto está hecha con un objetivo angular (27mm) cerca de ella. Fijate en la posición relativa de los rasgos de la figura y los del fondo.

Angular 18mm. Cerca. (27mm)

El pié del faro está en el torso de la chica. El hombro derecho de ella a la altura de la cabeza de la farola de atrás. Ahora me voy un poco más lejos y pongo un objetivo normal (50mm). Me alejo lo suficiente como para que el tamaño de la figura sea aproximadamente el mismo dentro de la imagen e intento que la cámara esté a la misma altura que antes.

Normal, 35mm, algo más lejos (50mm)

Fijate que la posición de las cosas del fondo han cambiado respecto de los rasgos del cuerpo de la chica. Si pasas de una foto a otra verás que en esta segunda parece que el faro se acerca a ella. Las cornisa de la base cuadrada del faro está a la altura de la mejilla de la chica.En la tercera foto me he ido un poco más lejos y he cambiado el objetivo a un 75mm, un tele corto.

50mm (75mm)

El faro se vé mas cerca. La cornisa de la base cuadrada del faro ahora está a la altura de la sien de la chica.

Pero voy a ir un poco más lejos, para mantener el tamaño de ella cambio el objetivo a un 105mm.

70mm. tele (105mm)

Fijate bien en la posición que guardan los rasgos del fondo con los de la chica. La altura del edificio que está delante del faro queda a la altura de la cabeza de la chica.

Angular (18mm-27) a la distancia del 70.

Bien, pues desde esta posición voy a cambiar de objetivo sin moverme del sitio. Voy a poner el angular de la primera foto pero desde la posición de la última, mira lo que pasa.
Mira la posición de los rasgos del fondo respecto de los de la chica, son iguales que los de la foto del tele. Es más, si amplio esta foto hecha con el angular mira lo que pasa:

Reencuadredel Angular (18mm-27) a la distancia del 70.

Si no fuera por la pérdida de calidad al ampliar ¿Tu dirías que esta foto está hecha con un angular? Pues es el mismo objetivo que la primera foto, pero la perspectiva de esta última, hecha con un angular, es igual que la perspectiva de la foto hecha con el tele desde la misma posición.
Así que la perspectiva NO DEPENDE DEL OBJETIVO, sino de la posición de la cámara.

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Revelado en raw y en jpg

Esta es la toma tal cual de la cámara. El fondo está demasiado sobreexpuesto y le falta prácticamente todo el detalle que yo veía. Al exponer para las sombras la zona soleada se sobreexpuso.

Pero podemos salvarlo en el revelado.

El fondo recibe sol directo y coloca el contraste demasiado alto para la cámara. Al exponer para las sombras, la figura, el fondo soleado pierde todos los detalles.

 

El raw tiene más latitud que el jpg, el raw tiene guarda más detalle que el que se revela directamente con el jpg. No siempre puede salvarse pero si en este caso. La corrección principal fué realizar un revelado de -1 paso, lo que bajó las luces quemadas hasta un punto en el que mostraban el detalle que nos faltaba.

Sin embargo la latitud de la cámara ha sido capaz de recuperar el detalle en las luces. Si hubieramos hecho la foto en jpg no habría habido manera de recuperar ese fondo.

Con Zoe, durante el verano de 2018 en la plaza de Capuchinos, en Córdoba, llamada popularmente la plaza del Cristo de los Faroles.

 

 

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El cinturón de Venus

El cinturón de venus es el nombre de la franja del cielo más cercana al suelo que aparece al amanecer y al atardecer. Esta franja se ve cuando miramos con el sol a nuestra espalda. El cinturón de Venus es la sombra de la Tierra arrojada por el sol y que se proyecto en la atmósfera.

En la foto Marta en la playa de la Caleta, en Cádiz, con la primera luz del día.

cinturondevenus

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Refuerzo de contraluz, para el curso de danza

Se supone que en breve estaremos liados con un curso de fotografía de danza. Que si no tiene un mínimo de matrículas no se impartirá, cosa que ya sucedió con el del año pasado.
Esta es una de las cosas de las que vamos a hablar, en el hipotético caso de que lo dieramos.

Del refuerzo de la luz con un flash. Primer caso, el contraluz. La cosa es que tenemos a una figura en sombra sobre un fondo muchomás iluminado. En el ejemplo baila mi adorada Analí, en un interior con un fondo de exterior tres pasos y dos tercios por encima de ella, lo que supone un contraste 12:1.

Las tres primeras fotos son el estado de las fotos sin refuerzo, solo con la luz ambiente.

En la primera foto la exposición para el fondo, ella queda totalment oscura, sin detalle ni modelado. Mira como el cielo tan extenso deja entrar algo de luz en las mejillas, como si tuvieramos una calle en tres cuartos trasera por los dos lados, es decir, lo que llamamos dos kicker.

refuerzoII-alfondo

Exposición para el fondo. 1/800 a f:2.

En la segunda foto he expuesto para el fondo, doce veces más luminoso que la bailarina, es decir, tres pasos y dos tercios por encima:

refuerzoII-alasombras

Exposición para la figura, 1/60 a f:2.

Las dos fotos siguientes están expuestas a un término medio entre las luces y las sombras. Dos versiones de ellas, la primera con la cara de frente, la segunda con la cara hacia arriba, recibiendo la luz del cielo.

refuerzoII-almedio

Exposición intermedia: 1/200 a f:4.

En esta primera foto hemos mejorado la reproducción, hay algo de volumen en la figura pero aún poco detalle. No acaba de convencerme. Pero al mirar hacia arriba la cosa cambia, hay detalle y modelado en el rostr. Pero no puedo pedirle que se pase el día mirando al cielo. De todas maneras, los ojos, tan oscuros en la sombra, decididamente no me convence.

refuerzoII-almedio

Luz ambiente con una exposición intermedia, a 1/200, f:4. Tengo detalle del fondo pero el rostro no acaba de estar bien.

Pongo el flash en la cámara al 6 de potencia, teniendo en cuenta que el máximo es 10 he quitado cuatro pasos, osea la potencia está a 1:16. Se que el flash tiene un guía 16 a 1 metro. En realidad tiene más potencia, pero le he puesto un difusor encima para que no cante tanto el brillo sobre la piel, y se que con ese difusor la intensidad baja dos pasos.

En este tipo de escena, la luz que añadimos a la figura no afecta al fondo. Es lo que llamo primer tipo de refuerzo, es típico de los contraluces y de la compensación de un interior con una vista al exterior. Solo hay que añadir la cantidad de luz correcta. El cálculo es simple: si la diferencia entre la figura y el fondo es de 1 paso, añadimos un flash que proporcione la misma luz que tiene la figura. Si la diferencia es de 2 pasos, añadimos un paso y medio más que el que hay en la figura y si la diferencia es de tres o más pasos, añadimos la misma luz que tengamos en el fondo.

Así que como la diferencia entre figura y fondo es de 3 pasos y 2/3 tengo que ajustar el flash para que me de la misma luz que la que tengo en el fondo, un f:4, ya que el tiempo de obturación no afecta a la exposición del flash, solo a la del fondo. Luego, dejo la cámara con el ajuste intermedio, 1/200 a f:4 y ajusto el flash a f:4.  El flash está a 1 metro, y tiene un f:16 de guía, luego para bajar la potencia a un f:4 tengo que reducirla en 4 pasos: f:16-11-8-5,6-4. Cuatro saltos.

Pero el resultado, aunque la exposición de la figura es igual que la del fondo no me gusta, el flash canta demasiado. Mi ojo al ver la escena espera que el fondo esté más iluminado que la figura, no que tengan el mismo brillo. Se ve muy poco natural.

La primera es una foto frontal.

refuerzoII-frontalpasado

Flash de refuerzo frontal con flash calculado.

Mira el brillo del flash en los ojos. La luz es totalmente antinatural, aunque el cálculo es correcto. No se ajusta a lo que el ojo espera.

La siguiente foto tiene la misma luz pero Analí ha girado algo la cara hacia arriba.

refuerzoII-frontalpasado

Flash frontal ajustado según cálculo con rostro en escorzo que recibe un modelado adecuado.

La figura me sigue pareciendo poco natural, tiene demasiada luz, aunque al girar la cara la luz del flash junto con la cenital de lo que entra del cielo modela bastante mejor que cuando mira de frente.

Como no acaba de convencerme el flash ajustado según el cálculo le bajo dos pasos, colocando la potencia al 4 (de 10), lo que supone bajarle 6 pasos, a una potencia 1:64.

La primera foto es mirando hacia la cámara, con luz frontal.

refuerzoII-frontalal4

La segunda foto tiene el flash al 4 de potencia y ella está algo más girada.

refuerzoII-ffrontal

Ahora los tonos me parecen mejores pero no acaba de convencerme el modelado, demasiado plano, el brillo de los pómulos delata al flash frontal. Así que voy a sacar el flash de la cámara y lo voy a colocar a mi izquierda, más o menos a 45 grados. Para dispararlo uso un emisor de radio.

En la primera foto Analí tiene la cabeza horizontal. El flash da mas o menos en la cara y modela las facciones. Tengo un tono que me gusta y un modelado adecuado. El flash no canta.

refuerzoII-ocf

Flash fuera de cámara con la potencia al 4 en vez de al 6. La figura está mejor integrada y no se aprecia tanto el refuerzo.

En la segunda foto Analí mira hacia arriba, al compararla con la foto en la que también mira hacia arriba pero con la luz ambiente sin flash y la exposición en un punto intermedio entre fondo y figura veo que tengo mejor modelado de las formas y que no hay ese oscurecimiento del rostro que no me gustaba.

refuerzoII-focf

Flash fuera de cámara. Mejor modelado, mejor integración.

Conclusión: el cálculo te dice por donde va la potencia del flash. Pero las matemáticas del cálculo no tienen en cuenta la visión “habitual” que tenemos de la escena. Al ajustar el flash según el cálculo la figura queda antinatural. El cálculo está realizado para que la luminosidad de la figura sea similar a la del fondo, pero tu ojo pide que la figura esté algo por debajo del fondo.

 

 

 

 

 

 

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Paragua en fuga

A la izquierda de la foto tengo un paraguas, alto. El flash está mal colocado dentro de él y algo de la luz que emite sale de lado, rozando el borde del paraguas y llegando hasta el fondo, como puede verse con la línea más clara que separa la zona no iluminada debido a la parte opaca del conformador y la parte más clara, donde cae toda la luz.

Aquí está Laura Rodriguez, volando su bata de cola. Las luces son un profoto B1 con el paraguas mediano plateado plano y el difusor, lo que se llama una brollie colocado a las seis, detrás mía, proporciona la luz base. La principal es un profoto D1 colocado a las nueve y a unos cuatro metros de altura con un paraguas focus, de broncolor.

Laura con paraguas en fuga.

 

 

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Cómo construir la luz

Cruzar los focos es la peor manera de iluminar un retrato. Cruzar los focos consiste en poner uno tu lado, al que llamas principal, y otro al tu otro lado, al que llamas relleno (a los focos, no a tus lados). Cuando cruzas los focos tienes esto:

Simétrica 1:1

Al colocar los focos simétricamente a los lados tenemos dos brillos en los mofletes, dos sombras en el interior de los carrillos y una sombra en medio de la nariz.
Estas luces ni modelan el rostro ni nos deja ver sus formas. Parece que hemos cogido la cara con las dos manos y la hemos apretado hacia dentro. Una cara se modela correctamente con una luz general y otra algo más lateral que le da forma. Así:

Construcción completa. Base a 4.5 y principal a 8. Contraste de 1 2/3 pasos, 3:1.

Ahora el rostro tiene una luz con una sola dirección y que le da forma, moldeandolo. Para hacerlo hay una luz frontal que da un tono base a toda la figura y otra a un lado del fotógrafo que proporciona la luz principal, la que da la el modelado y la dirección de la luz.

Es decir, primero tengo una luz frontal.

Base a f:4,5

Esta luz está justo detrás mía, aunque hay otras tres maneras de hacerla. Proporciona el mismo diafragma en toda la figura. Sobre esta base vamos a construir el resto de las luces, que en este ejemplo solo va a ser la principal.

Esta es la principal sola, sin base.

Construcción completa. Principal sola

El foco principal está a tres cuartos por la derecha de la imagen. Por si sola tiene mucho contraste, las sombras son bastante oscuras, y hay una dirección de la luz, que crea el modelado de la figura.

Cuando sumamos ambas luces obtenemos la foto completa:

Construcción completa. Base a 4.5 y principal a 8. Contraste de 1 2/3 pasos, 3:1.

Dos cosas a mencionar. La foto que he mostrado de la luz base se ha hecho con el diafragma medido para la luz base, f:4,5 y no el utilizado en la foto final f:8. El tono de las sombras de la foto final no es el que vemos en la foto anterior de la base, sino el de esta foto que viene a continuación:

Base a diafragma final.

La foto está subexpuesta, pero tiene los tonos de las sombras.

La otra objeción puede ser que la foto con que he arrancado el artículo tiene los dos focos a la misma potencia. Si cambiamos las potencias para que un foco domine sobre el otro obtenemos esto:

Construccion simetrica

Sigue habiendo dos brillos en los pómulos, y sigue habiendo un sombreado de los carrillos hacia dentro, sigue pareciendo que la cara se ha apretado desde los dos lados hacia dentro.

En la construcción simétrica, con las luces cruzadas, cada foco ilumina un lado de la cara. En la construcción asimétrica, con una luz de base y otra que proporciona el contraste y el modelado, solo un lado tiene un único foco, el base, mientras que en el otro lado de la cara se suma la luz de ambos focos. Y esta es la manera correcta de iluminar una cara, pero la facilidad de internet para que cualquiera escriba aunque no sepa lo que dice ha hecho que mucha gente se crea que una luz principal y de relleno se hace cruzando las luces y no como antes de internet, cuando quien escribía tenía un montón de filtros por encima para asegurarse de que no decía tonterías y lo que se contaba, sin ser siempre seguro, decía menos tonterías que ahora.

 

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Refuerzo interior 2, claroscuro

El análisis del refuerzo de un claroscuro me llevó como dieciseis años y lo acabé por resolver hace unos meses. Pero estas fotos son algo más intuitivas y sin cálculos.
Estamos en una galería de un primer piso de un patio sevillano. La luz de las ventanas crea un claroscurso en la figura pero resulta algo exagerado y de un tono total que me parece más oscuro de lo que me gusta.

La primera foto es con la luz ambiente y expuesta para las sombras. Es decir, pongo el fotómetro en el lado oscuro de la cara y miro qué luz le llega, que resulta ser un 1/40 a f:2,8 para una sensibilidad de 250.

refint1alasombra

El lado oscuro de la cara esa en tono medio y el lado claro me parece algo demasiado luminosa, de hecho el histograma me marca muchos quemados en el entorno.

Esta segunda foto está expuesta para el lado claro. Es decir, he puesto el fotómetro en la mejilla de las luces y lo he apuntado hacia el patio para ver qué luz venía de allí. Resulta ser un 1/100. El total es de un paso y un tercio, lo que significa un contraste total de 3:1, lo cual no estánada mal.

refint2alaluz

Ahora no tengo quemados en los blancos. El contraste se mantiene.

Voy a añadir un flash para reforzar el interior. Un B1 con brollie (paraguas con difusor) colocado a las 7 (si imaginas un reloj alrededor de ella, mirando hacia arriba, yo estoy a las 6, el fondo a las 12, las ventanas a las 3 y la pared a las 9).

refint3conflash

Todas las fotos están sin realizar ningún ajuste más que la aplicación con lightroom del perfil de cámara neutro y la corrección de la óptica.

 

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