Media aritmética y geométrica

En el mundo clásico se entendían tres maneras de obtener una medida que fuera proporcional a otras dos. Por ejemplo, si tienes el ancho y largo de una sala ¿Cual sería la altura lógica?
A esto lo llamaban “simetría”, aunque actualmente la palabra ha cambiado de significado y para el original hemos creado el “neologismo” proporción.
Un artesano griego, o italiano neoplatónico, entendía tres maneras de sacar ese tercer tamaño a partir de dos dados. Hoy en día los llamamos medias y es más probable encontrar información en libros de estadística que de arte. El problema es que en estadística esas medias, esos terceros valores compatibles estéticamente con otros dos, se emplean para cosas muy distintas que las que queremos usarlas en artes plásticas y por tanto las explicaciones no se ajustan a lo que buscamos.
Vamos a ver estas tres maneras de obtener el tercer valor de entre dos dados. Aquí vamos a ver las dos primeras y dejo la tercera para otro artículo venidero.

Enga, vamos. La primera es la media artimética. Si tenemos dos líneas de longitud a y b la tercera que buscamos, por media aritmética, está a medio camino exacto de ambas. La longitud de la media dista igualmente de ambas. Es decir, si restas la línea mayor de la menor, coges la mitad de esa diferencia y se la sumas al lado menor. Más sencillo es simplemente sumar las dos lineas y sacar el punto medio.

mediaaritmetica

En la construcción, superpongo las dos líneas a y b una encima de la otra de manera que dejo un punto común ya ambas (en la ilustración en el lado izquierdo) y me deja el otro extremo de cada una de las líneas más a la derecha. Ahora dibujo una circunferencia cuyo diámetro son esos dos puntos extremos. La distancia del centro de esta circunferencia hasta el punto común de las dos líneas es la media aritmética. Para separarla voy a trazar un arco con centro en el punto común y radio desde él hasta el centro de la circunferencia. Este arco corta a la circunferencia en un punto y por tanto la media aritmética es la recta que va desde el punto común al punto de corte del arco y la circunferencia.

 

La media geométrica

El segundo modo de buscar una línea armónica con otras dos es la media geométrica. En ella la media es tantas veces mayor que el lado corto como el lado largo es tantas veces mayor que la media. Si la media aritmética era la suma de las dos longitudes dividida entre dos la media geométrica es la raiz cuadrada de la multiplicación de las dos líneas. Es decir, simplemente hemos sustituido la división por una raiz y la suma por una multiplicación.
Es decir: m/a = b/m, luego m^2 = a * b. Fijemonos bien lo que dice esa ecuación: que si formamos un cuadrado con el lado medio su superficie es la misma que la del rectángulo formado por los lados grande y chico.

Es decir:

mediageometrica2

El rectángulo tiene por lado las dos líneas que queremos promediar. El cuadrado tiene por lado la media geométrica de esas dos rectas. Las dos figuras tienen la misma superficie. Esa es la idea de la proporción geométrica.

 

¿Para qué sirve la media geométrica?
Coge las dos líneas y dibuja con ellas un rectángulo. Ahora traza la diagonal.

geometrica3

Pues bien, cualquier rectángulo que dibujes apoyados en la misma diagonal tienen la misma relación de aspecto, sus lados guardan la misma proporción. Por esto esta manera de definir una proporción (“symmetria”) era la más importante.
Es decir, todos los rectangulos ab, cd, ef son semejantes, tienen la misma relación de aspecto;

a/b = c/d = e/f

Esta idea de que la relación entre la línea media y los lados sea constante es una idea central, hasta el punto de que se llamó “la proporción” por antonomia, o proportion proportionis, es decir, “la proporción”. Cuando los autores antiguos hablan de proporción sin más o “a los que los griegos llamaban proporción”  se refiere a esta media geométrica diferenciandola de las otras dos maneras de obtener una línea media. El problema es que muchos han interpretado modernamente que esta “Proporción” es solo una de todas las posibles, la de media y extremo de Euclides, lo cual ha dado origen a un confuso y fantasioso sistema de reglas basados en una única proporción. Cuando en los autores antiguos leemos “la proporción” no se refiere a “la proporción aúrea” sino a la media geométrica.

 

Como trazarla

Vamos a ver cómo encontrarla gráficamente. Primero la respuesta, después la explicación.
Dibuja las dos líneas una encima de la otra, superponiendose, igual que hicimos para encontrar la media aritmética.  Dibuja el círculo cuyo diámetro es el trozo en que la línea más larga es mayor que la más corta. Esto es lo mismo que hicimos antes. Ahora traza la línea tangente al círculo hasta el punto más externo de las dos líneas.

mediageometrica

Ojo con las dos construcciones, que igual se parece. Vamos a ponerlas juntas:

dosmedias

Las líneas a y b están superpuestas, no una detrás de otra, sino una encima de la otra. El punto de la izquierda de las dos líneas, a y b, es el mismo.

 El círculo está centrado en el trozo que la línea larga (b) sobre sale de la línea corta (a).

Para la media aritmética dibujamos un arco desde el punto externo hasta el centro del círculo. La línea media aritmética es la que va desde el punto externo hasta el punto en que el arco corta al círculo (en realidad es desde el punto externo hasta el centro del círculo).

Para la media geométrica simplemente dibujamos la tangente a la circunferencia desde el punto externo.

Otro día hablamos de la media armónica.

POR QUÉ ESA CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIA GEOMETRICA

Para comprender por qué la tangente desde el punto externo a la circunferencia es la media geométrica tenemos que conocer una propiedad que tienen las circunferencias.
Imagina un punto fuera de la circunferencia. Traza una línea que la corte en dos puntos. Uno de ellos queda más cerca del externo que el segundo. Ahora dibuja el rectángulo cuyos lados son las líneas desde el punto externo hasta el cercano y desde el punto externo al lejano. Bien, pues sean cualesquiera que sean las líneas que hayas trazado, la superficie de los rectángulos son siempre la misma.
Mira este dibujo. Tienes un punto A fuera del círculo y he trazado unas cuantas líneas.

potencia

ABC, ADE, AFG y por último una línea que es tangente a la circunferencia AH.
Bien ,pues todos los rectángulos que puedes formar: AB-AC, AD-AE, AF-AG y el cuadrado AH, todos, tienen la misma superficie.

Esta propiedad se llama potencia de un punto a una circunferencia.

 

 

Acerca de pacorosso

Romano provincial de la Bética. Fotógrafo y lector de luces.
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